Please use this identifier to cite or link to this item:
https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/37262Full metadata record
| DC Field | Value | Language |
|---|---|---|
| dc.contributor.author | Kalivopoulos, Vasileios | en |
| dc.contributor.author | Καλιβόπουλος, Βασίλειος | el |
| dc.date.accessioned | 2024-04-08T14:52:35Z | - |
| dc.date.available | 2024-04-08T14:52:35Z | - |
| dc.identifier.uri | https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/37262 | - |
| dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.26268/heal.uoi.16973 | - |
| dc.rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States | * |
| dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/us/ | * |
| dc.subject | SG | en |
| dc.subject | Dual SG | en |
| dc.subject | Semigeostrophic equation | en |
| dc.subject | Euler equation | en |
| dc.subject | vorticity-stream formulation | en |
| dc.subject | Monge-Ampere | en |
| dc.subject | Periodic | en |
| dc.subject | Torus | en |
| dc.subject | Weak solutions | en |
| dc.subject | Smooth solutions | en |
| dc.subject | Convergence of dual SG smooth solutions to Euler solution | en |
| dc.title | The semigeostrophic equation in twodimensional periodic space and its relation to the Euler equation | en |
| dc.title | Η ημιγεωστροφική εξίσωση στον διδιάστατο περιοδικό χώρο και η σχέση της με την εξίσωση Euler | en |
| dc.type | masterThesis | - |
| heal.type | masterThesis | el |
| heal.type.en | Master thesis | en |
| heal.type.el | Μεταπτυχιακή εργασία | el |
| heal.classification | Partial Differential Equations | en |
| heal.dateAvailable | 2024-04-08T14:53:35Z | - |
| heal.language | en | el |
| heal.access | free | el |
| heal.recordProvider | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών | el |
| heal.recordProvider | University of Ioannina. School Of Sciences | en |
| heal.publicationDate | 2023-10-30 | - |
| heal.abstract | We begin with the introduction of the equations that we are going to study. We start by mentioning the Semi-Geostrophic equation (which we abbreviate as SG) in physical variables, for which we explain thoroughly the notations we are going to use throughout the thesis. After that, we make a formal derivation of the aforementioned SG system and we insert the convexity-in-space requirement for their solutions. Then, we move on to deriving the dual SG system, which will be the main object of study in this thesis. The reason one moves past the SG system is that, at a first glance at least, it provides no evolution equation for the velocity. In order to obtain the dual SG equations, we first try to understand the continuity equation for a measure with density. Lastly, we show that the dual velocity (velocity of the dual SG system) is divergence free as well. In the second chapter we formulate the equation of a weak solution to the dual SG system, taking the Lagrangian point of view (for the coordinates describing the image of the physical flow). We then proceed to solve the dual SG system, in the weak sense (sometimes referred to as distributional) we have just discussed. We show that we can have global in time weak solutions, but we do not show any uniqueness result. To obtain these solutions we construct a family of approximate ones and we prove that their limit leads to a solution for the dual SG system. We do so with subsequences, which do not yield uniqueness, unless they are shown to yield the same limit. The approximate solutions are obtained by solving the measure continuity equation we obtained, with the help of ordinary differential equations. We also show some interesting properties while studying the existence of weak solutions to the dual SG equation. In the next chapter we prove the existence and uniqueness of a smooth solution, though this time our solution is only local in time. We follow the same steps as in the proof of existence of weak solutions. We build an approximate sequence and then we take its limit. Moving on, this time, we can prove uniqueness. We show that if two solutions exist, then they coincide. We reduce the question of the existence of a unique solution to the uniqueness of the respective flow, that is, the solution of the aforementioned ODE. To achieve our goal we implement a Gronwall type argument and an interpolation argument. In the final chapter, we try to relate the dual SG system (rewritten as a coupled system of a continuity equation and a Monge-Ampère equation) to the 2d incompressible Euler in vorticity-stream formulation. Before we work on this, we briefly present some facts about the Euler and the Navier-Stokes equations. At last, we show that local smooth solutions of the dual SG system converge, under some norm, to the 2d incompressible Euler equation in vorticity-stream formulation. Finally, this thesis contains an appendix, where there was made an effort to gather together mathematical notions and results used in this thesis. | en |
| heal.abstract | Το εισαγωγικό πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζει τα συστήματα της ημιγεωστροφικής και της δυϊκής ημιγεωστροφικής εξίσωσης. Γίνεται η εξαγωγή των δύο συστημάτων και αναφέρεται η προϋπόθεση της κυρτότητας των λύσεων στον χώρο για τη μετάβαση από την πρώτη στη δεύτερη. Στην παρούσα εργασία η δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση αποτελεί το βασικό αντικείμενο ενασχόλησης. Για να εξαγάγουμε τη δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση από αυτήν σε φυσικές συντεταγμένες θα κινηθούμε μέσω ενός μέτρου εικόνα και θα καταλήξουμε σε μία εξίσωση συνέχειας για μέτρα με πυκνότητα. Ακόμη, θα αποδείξουμε ότι το σύστημα παραμένει ασυμπίεστο, δηλαδή ότι η δυϊκή ταχύτητα είναι πεδίο μηδενικής απόκλισης. Εν συνεχεία θα ορίσουμε τι είναι μία ασθενής λύση για τη δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση. Στην πορεία αναζήτησης της σχέσης που πρέπει να ικανοποιεί μία λύση της δυϊκής ημιγεωστροφικής εξίσωσης θα ορίσουμε τη λύση της συνήθους διαφορικής εξίσωσης για την αντίστοιχη ροή, η οποία θα παίξει σημαντικό ρόλο. Μάλιστα, θα δείξουμε και ενδιαφέρουσες ιδιότητες της λύσης αυτής. ΄Επειτα, θα προβούμε στην επίλυση του προβλήματος ύπαρξης λύσεων. Ξεκινάμε με την εύρεση ασθενών λύσεων ολικά στον χρόνο. Για να το πετύχουμε αυτό θα κατασκευάσουμε μια οικογένεια προσεγγιστικών λύσεων και θα βρούμε μια συγκλίνουσα υπακολουθία, το όριο της οποίας θα είναι η ζητούμενη λύση. ΄Οσον αφορά ισχυρότερες λύσεις θα δείξουμε ότι μπορούμε να έχουμε λείες λύσεις (όχι με την κλασική έννοια, αλλά με την ασθενή έννοια στον χώρο και στον χρόνο, όπου τώρα σε κάθε χρονική στιγμή η λύση είναι λεία στον χώρο) τοπικά όμως στον χρόνο. Η συγκεκριμένη λύση, η ύπαρξη της οποίας προκύπτει μέσω των ίδιων βημάτων και επιχειρημάτων όπως προηγουμένως, αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική. Αυτό επιτυγχάνεται δείχνοντας ότι για δύο λύσεις, οι αντίστοιχες λύσεις (ροές) της προαναφερθείσας συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι ίσες μέσω της χρήσης ενός επιχειρήματος Gronwall και με την βοήθεια καμπυλών παρεμβολής (interpolating curves). Στο τέλος της διατριβής παρατίθεται ένα παράρτημα όπου έχουν καταγραφεί όσο το δυνατόν περισσότερες μαθηματικές έννοιες και προτάσεις, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή. | el |
| heal.advisorName | Giannoulis, Ioannis | en |
| heal.committeeMemberName | Giannoulis, Ioannis | en |
| heal.committeeMemberName | Γιαννούλης, Ιωάννης | el |
| heal.committeeMemberName | Σταματάκης, Μάριος | el |
| heal.committeeMemberName | Stamatakis, Marios | en |
| heal.committeeMemberName | Σαρόγλου, Χρήστος | el |
| heal.committeeMemberName | Saroglou, Christos | |
| heal.academicPublisher | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών | el |
| heal.academicPublisher | University of Ioannina. School Of Sciences. Mathematics Department | en |
| heal.academicPublisherID | uoi | el |
| heal.numberOfPages | 151 | el |
| heal.fullTextAvailability | true | - |
| Appears in Collections: | Διατριβές Μεταπτυχιακής Έρευνας (Masters) - ΜΑΘ | |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| Μ.Ε. Καλιβόπουλος Βασίλειος (2023).pdf | The semigeostrophic equation in twodimensional periodic space and its relation to the Euler equation | 1.1 MB | Adobe PDF | View/Open |
This item is licensed under a Creative Commons License
