Please use this identifier to cite or link to this item:
https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/39139Full metadata record
| DC Field | Value | Language |
|---|---|---|
| dc.contributor.author | Τσακνάκης, Αθανάσιος | el |
| dc.contributor.author | Tsaknakis, Athanasios | en |
| dc.date.accessioned | 2025-07-03T08:34:26Z | - |
| dc.date.available | 2025-07-03T08:34:26Z | - |
| dc.identifier.uri | https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/39139 | - |
| dc.rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States | * |
| dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/us/ | * |
| dc.subject | Gauss-Legendre | en |
| dc.subject | Störmer-Verlet | en |
| dc.subject | Symplectic Numerical Methods | en |
| dc.subject | Symplectic Euler | en |
| dc.subject | Implicit Midpoint | en |
| dc.subject | Hamiltonian Systems | en |
| dc.title | Αριθμητικές Μέθοδοι για την Επίλυση Χαμιλτονιανών Συστημάτων | el |
| dc.title | Numerical Methods of Solving Hamiltonian Systems | en |
| dc.type | masterThesis | - |
| heal.type | masterThesis | el |
| heal.type.en | Master thesis | en |
| heal.type.el | Μεταπτυχιακή εργασία | el |
| heal.classification | Αριθμητική Ανάλυση | el |
| heal.classification | Numerical Analysis | en |
| heal.dateAvailable | 2025-07-03T08:35:26Z | - |
| heal.language | el | el |
| heal.access | free | el |
| heal.recordProvider | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών | el |
| heal.publicationDate | 2025-06 | - |
| heal.abstract | Σκοπός της μεταπτυχιακής διατριβής είναι η μελέτη και η εφαρμογή αριθμη- τικών μεθόδων για την επίλυση Χαμιλτονιανών συστημάτων, με έμφαση στις συμπλεκτικές μεθόδους. Οι συμπλεκτικές μέθοδοι είναι ιδιαίτερα σημαντικές για την αξιόπιστη προσομοίωση Χαμιλτονιανών και “σχεδόν” Χαμιλτονιανών συστη- μάτων σε μεγάλα διαστήματα χρόνου, αφού η προσεγγιστική λύση που υπολο- γίζουν διατηρεί τα ποιοτικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ακριβούς λύσης. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας διατριβής ορίζονται βασικές έννοιες του λογισμού μεταβολών και οι εξισώσεις Euler–Lagrange, με ιδιαίτερη έμφαση στις εφαρμογές τους στη δυναμική μηχανικών συστημάτων. Αναλύονται οι εξισώσεις Hamilton, η έννοια της Χαμιλτονιανής ως ολικής ενέργειας, και η ροή των Χαμιλ- τονιανών συστημάτων, τα οποία χαρακτηρίζονται από τη διατήρηση της ενέργειας και του όγκου στον χώρο φάσης. Η συμπλεκτικότητα της ροής αποδεικνύεται μέσω του θεωρήματος του Poincar´e. Στο πρώτο μέρος του δευτέρου κεφαλαίου ορίζεται και εξετάζεται η συμπλε- κτικότητα αριθμητικών μεθόδων μέσω αριθμητικών ολοκληρωτών. Αποδεικνύεται η συμπλεκτικότητα των συμπλεκτικών μεθόδων του Euler και της πεπλεγμένης μεθόδου του μέσου. Επιπλέον, η συμπλεκτικότητα διασφαλίζεται στις μεθόδους St¨ormer–Verlet μέσω συνθέσεων συμπλεκτικών αριθμητικών ολοκληρωτών. Στο δεύτερο μέρος, θεωρούμε τις κλασικές μεθόδους των Runge–Kutta και μία ειδική κατηγορία αυτών, τις λεγόμενες διαμερισμένες μεθόδους των Runge– Kutta. Δίνουμε ικανή συνθήκη για να είναι οι κλασικές και οι διαμερισμένες μέθοδοι των Runge–Kutta συμπλεκτικές. Οι συνθήκες αυτές είναι και αναγκα- ίες για σχεδόν όλες τις μεθόδους. Ως παράδειγμα, θεωρούμε τις κλασικές με- θόδους του πρώτου μέρους του δευτέρου κεφαλαίου, καθώς και τη μέθοδο των Gauss–Legendre, η οποία είναι μία διβηματική μέθοδος των Runge–Kutta με τάξη σύγκλισης τέσσερα. Στο τρίτο κεφάλαιο εφαρμόζονται οι συμπλεκτικές μέθοδοι για την επίλυση Χαμιλτονιανών συστημάτων σε μεγάλα χρονικά διαστήματα, με έμφαση στη δια- τήρηση ποσοτήτων όπως η ενέργεια του συστήματος. Τα αριθμητικά πειράματα δείχνουν ότι οι συμπλεκτικές μέθοδοι είναι κατάλληλες για την αριθμητική επίλυση Χαμιλτονιανών συστημάτων, αφού οι αριθμητικές προσεγγίσεις που υπολογίζουν διαθέτουν τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της ακριβούς λύσης και αυτό έχει σαν α- ποτέλεσμα το συνολικό σφάλμα στις διατηρητέες ποσότητες να παραμένει μικρό. Επιπλέον, η γεωμετρική ευστάθειά τους εξασφαλίζει ότι το σφάλμα της Χαμιλτο- νιανής δε συσσωρεύεται με την πάροδο του χρόνου αλλά παραμένει ψευδοπεριοδι- κό. Συνεπώς, τα αποτελέσματα που παράγονται από τις συμπλεκτικές αριθμητικές μεθόδους είναι αξιόπιστα για την επίλυση Χαμιλτονιανών συστημάτων σε μεγάλα χρονικά διαστήματα. Τέλος, στο παράρτημα παρουσιάζονται οι κώδικες που έχουν υλοποιηθεί στη γλώσσα προγραμματισμού Python. | el |
| heal.abstract | The aim of this M.Sc. thesis is to study and apply numerical methods for solving Hamiltonian systems, with an emphasis on symplectic methods. Symplectic methods are particularly important for the reliable simulation of Hamiltonian and “almost” Hamiltonian systems over long time intervals, since the approximate solutions they compute preserve the qualitative and geometric properties of the exact solutions. In the first chapter of this thesis, the basic concepts of the calculus of variations and the Euler–Lagrange equations are introduced, with particular emphasis on their applications to the dynamics of mechanical systems. Hamilton’s equations are analyzed, along with the concept of the Hamiltonian as the total energy and the flow of Hamiltonian systems, which are characterized by the conservation of energy and volume in phase space. The symplecticity of the flow is proven through Poincar´e’s theorem. In the first part of the second chapter, the symplecticity of numerical methods is defined and examined through numerical integrators. The symplecticity of the symplectic Euler methods and the implicit midpoint method is proven. Furthermore, symplecticity is ensured in the St¨ormer-Verlet methods through the composition of numerical symplectic integrators. In the second part, classical Runge–Kutta methods and a special category thereof, the so-called partitioned Runge–Kutta methods, are considered. A sufficient condition is provided for the classical and partitioned Runge–Kutta methods to be symplectic. These conditions are also necessary for almost all methods. As an example, the classical methods from the first part of the second chapter are examined, as well as the Gauss–Legendre method, which is a two-stage Runge–Kutta method with fourth-order convergence. In the third chapter, symplectic methods are applied to solving Hamiltonian systems over long time intervals, with an emphasis on preserving quantities such as the system’s energy. Numerical experiments show that symplectic methods are suitable for the numerical solution of Hamiltonian systems, as the numerical approximations they compute possess the qualitative characteristics of the exact solution, resulting in the overall error in conserved quantities remaining small. Furthermore, their geometric stability ensures that the Hamiltonian error does not accumulate over time but remains pseudoperiodic. Therefore, results produced by symplectic numerical methods are reliable for solving Hamiltonian systems over long time intervals. Finally, the appendix presents the code implemented in the Python programming language. | en |
| heal.advisorName | Καρακατσάνη, Φωτεινή | el |
| heal.committeeMemberName | Καρακατσάνη, Φωτεινή | el |
| heal.committeeMemberName | Ξένος, Μιχαήλ | el |
| heal.committeeMemberName | Χωρίκης, Θεόδωρος | el |
| heal.academicPublisher | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών | el |
| heal.academicPublisherID | uoi | el |
| heal.numberOfPages | 98 | el |
| heal.fullTextAvailability | true | - |
| Appears in Collections: | Διατριβές Μεταπτυχιακής Έρευνας (Masters) - ΜΑΘ | |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| Μ.Ε. ΤΣΑΚΝΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (2025).pdf | 9.01 MB | Adobe PDF | View/Open |
This item is licensed under a Creative Commons License
