Please use this identifier to cite or link to this item:
Full metadata record
DC FieldValueLanguage
dc.contributor.authorVogiatzi, Artemis-Aikaterinien
dc.rightsAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States*
dc.subjectRiemannian Submanifoldsen
dc.subjectComplex and lagrangian submanifoldsen
dc.subjectParabolic PDEsen
dc.subjectMean curvature flowen
dc.subjectGraphical MCFen
dc.titleMean curvature flow and isotopy problemsen
heal.type.enMaster thesisen
heal.type.elΜεταπτυχιακή εργασίαel
heal.classificationFlows (Differentiable dynamical systems)-
heal.recordProviderΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικώνel
heal.bibliographicCitationΒιβλιογραφία: σ. 87-89el
heal.abstractLet f : M ! N be a smooth map between two manifoldsM and N. It is an interesting problem to find canonical representatives in the homotopy class of f. By a canonical representative is usually meant a map in the homotopy class of the given map f which is critical point of a suitable functional. One possible approach is the harmonic map heat flow that was defined by Eells and Sampson in [19]. IfM andN are compact and carry appropriate Riemannian metrics, they proved long-time existence and convergence of the heat flow, showing that under these assumptions one finds harmonic representatives in a given homotopy class. This approach is applicable usually when the target space is negatively curved. However, in general one can neither expect longtime existence nor convergence of the flow, in particular for maps between spheres, since the flow usually develops singularities. There is another interesting functional that we may consider in the space of smooth maps. Namely, given a map f : M ! N between Riemannian manifolds M and N, let us denote its graph in the product spaceM N by (f) := {( x; f(x) ) 2 M N : x 2 M } : Following the terminology introduced by Schoen [38], a map whose graph is minimal submanifold is called minimal map. Therefore, minimal maps are critical points of the volume functional. Another way to deform a smooth map f : M ! N between Riemannian manifoldsM and N is by deforming its corresponding graph (f) in the product spaceM N via the mean curvature flow. A graphical solution of the mean curvature flow can be described completely in terms of a smooth family of maps ft : M ! N, t 2 [0; T), f0 = f, where 0 < T 1 is the maximal time for which the smooth graphical solution exists. In the case of long-time existence of a graphical solution and convergence we would thus obtain a smooth homotopy from the initial map f to a minimal map f1: M ! N as time t tends to infinity. The first result in this direction is due to K. Ecker and G. Huisken [18]. They proved longtime existence of entire graphical hypersurfaces in the Euclidean space Rn+1. Moreover, they proved convergence to a flat subspace, if the growth rate at infinity of the initial graph is linear. The complexity of the normal bundle in higher codimensions makes the situation much more complicated. Results analogous to [18] are not available any more without further assumptions. However, the ideas developed in [18] opened a new era for the study of the mean curvature flow of submanifolds in Riemannian manifolds of arbitrary dimension and codimension; see for example the papers [6, 7, 9, 28, 30, 34–37, 41, 43–45, 47–49] and the references therein. The goal of this thesis is to show that the deformation of area preserving maps between Riemann surfaces under its mean curvature gives the following result: Theorem. Suppose M and N are compact Riemann surfaces with the same constant scalar curvature and f : M ! N be an area preserving diffeomorphism. Then, there exists a family of smooth area preserving maps ft : M ! N, t 2 [0;1), f0 = f, such that the graphs (ft) of ft move by mean curvature flow in the Riemannian product space M N. Moreover, depending on the sign of we have the following behaviour: (a) If > 0, then the family of the graphs (ft) smoothly converges to the graph of an isometry. (b) If = 0, then (ft) smoothly converges to a totally geodesic graph (f1) of the product M N. (c) If < 0, then the graphs (ft) smoothly converges to a minimal surface M1 of the Riemannian product M N. The above theorem is due to K. Smoczyk [41] and M.-T. Wang [46,49]. The proof that we present here follows closely also ideas developed in [34]. Since any diffeomorphism is isotopic to an area preserving diffeomorphism, this gives another proof of Smale’s theorem [39] that the orthogonal group O(3) is the deformation retract of the diffeomorphism group of the sphere S2. The organisation of the thesis is as follows: In Chapter 1 we will review the geometric structure equations for immersions in Riemannian manifolds and we will introduce most of our terminology and notations that will be used throughout the manuscript. In Chapter 2 we discuss complex and Lagrangian submanifolds of Kähler manifolds. In Chapter 3 we will outline facts from the theory of differential operators in vector bundles. Additionally, we present the comparison maximum principle for parabolic partial differential equations. In Chapter 4 we shall introduce the mean curvature flow. We will show that the mean curvature flow is a quasilinear (degenerate) parabolic system and we will treat the existence and uniqueness problem. Moreover, we will derive the evolution equations of the most important geometric quantities in the general situation, i.e. for immersions in arbitrary Riemannian manifolds. Finally, in Chapter 5 we introduce the graphical mean curvature flow and prove the main result of this thesis.en
heal.abstractΈστω f : M ! N μία λεία απεικόνιση μεταξύ δύο πολυπτυγμάτωνM και N. Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι να βρεθούν κανονικοί εκπρόσωποι στην κλάση ομοτοπίας της απεικόνισης f. Με την έννοια κανονικό εκπρόσωπο εννοούμε μία απεικόνιση στην κλάση ομοτοπίας της απεικόνισης f, η οποία είναι κρίσιμο σημείο ενός κατάλληλου συναρτησιακού. Μία πιθανή προσέγγιση είναι είναι η ροή θερμότητας, που μελετήθηκε από τους Eells και Sampson στο [19]. Αν το πολυπτύγμαM είναι συμπαγές και τοN είναι επίσης συμπαγές με αρνητική καμπυλότητα τομής, οι Eells και Sampson [19] απέδιξαν σύγκλιση της ροής θερμότητας σε μια αρμονική απεικόνιση. Κάτω λοιπόν από τέτοιες υποθέσεις μπορούν να βρεθούν αρμονικοί εκπρόσωποι μίας δοσμένης κλάσης ομοτοπίας. Αυτή η προσέγγιση όμως είναι δυνατή όταν το πεδίο τιμών έχει αρνητική καμπυλότητα. Ωστόσο, δεν αναμένεται σύγκλιση της ροής θερμότητας στην περίπτωση που το πεδίο τιμών είναι θετικά καμπυλομένο, όπως για παράδειγμα για απεικονίσεις μεταξύ σφαιρών, αφού η ροή θερμότητας συνήθως αναπτύσσει ιδιομορφίες. Υπάρχει ένα άλλο ενδιαφέρον συναρτησιακό, που μπορεί να θεωρηθεί στον χώρο των λείων συναρτήσεων. Δοσμένης μίας απεικόνισης f : M ! N μεταξύ πολυπτυγμάτων Riemann M και N, συμβολίζουμε με (f) := {( x; f(x) ) 2 M N : x 2 M } το γράφημα στο πολύπτυγμα γινόμενο M N. Ακολουθώντας την ορολογία που εισήχθη από τον Schoen [38], μία απεικόνιση λέγεται ελαχιστική όταν το γράφημά της είναι ελαχιστικό υποπολύπτυγμα. Έτσι, οι ελαχιστικές απεικονίσεις είναι τα κρίσιμα σημεία του συναρτησιακού του όγκου γραφημάτων σε πολυπτύγματα γινόμενο. Ένας τρόπος παραμόρφωσης μίας απεικόνισης f : M ! N μεταξύ συμπαγών πολυπτυγμάτων Riemann M και N είναι παραμορφώνοντας το γράφημα (f) της f στο πολύπτυγμα γινόμενο M N μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας. Εάν η παραμόρφωση μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας εξακολουθεί να παραμένει γράφημα μέχρι κάποια χρονική στιγμή T > 0, τότε λαμβάνουμε μία μονοπαραμετρική οικογένεια διαφορίσιμων απεικονίσεων ft : M ! N, t 2 [0; T), τέτοια ώστε f0 = f. Στην περίπτωση που η εξέλιξη του γραφήματος υπάρχει για όλους τους χρόνους και εξακολουθεί να παραμένει γράφημα, τότε προκύπτει μια ομοτοπία απο την αρχική απεικόνιση f σε μία ελαχιστική απεικόνιση f1: M ! N, καθώς το t τείνει στο άπειρο. Το πρώτο αποτέλεσμα σχετικά με εξέλιξη γραφημάτων στον ευκλείδειο χώρο μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας, οφείλεται τους Ecker και Huisken [18]. Συγκεκριμένα, απέδειξαν ότι η ρόη μέσης καμπυλότητας ένος ολικού γραφήματος συνδιάστασης 1 στον ευκλείδειο χώρο υπάρχει για όλους τους χρόνους. Επιπλέον, κάτω από υποθέσεις για τη γεωμετρία του γραφήματος στο άπειρο, απέδειξαν και σύγκλιση της ρόης σε υπερεπίπεδο. Όμως, η πολυπλοκότητα της κάθετης δέσμης, περιπλέκει την διαδικασία σε μεγαλύτερες συνδιαστάσεις. Κατά συνέπεια, αποτελέσματα ανάλογα με το [18] δεν είναι διαθέσιμα χωρίς επιπλέον υποθέσεις. Ωστόσο, οι ιδέες που αναπτύχθηκαν στο [18] άνοιξαν μία νέα εποχή στη μελέτη της ροής μέσης καμπυλότητας υποπολυπτυγμάτων οποιαδήποτε διάστασης και συνδυάστασης. Για παράδειγμα αναφέρουμε τα άρθρα [6, 7, 9, 28, 30, 34–37, 41, 43–45, 47–49]. Στόχος της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι να μελετήσουμε την εξέλιξη μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας ισεμβαδικών απεικονίσεων μεταξύ συμπαγών επιφανειών Riemann με σταθερή καμπυλότητα. Πιο συγκεκριμένα, θα αποδείξουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: Θεώρημα: Έστω Μ και Ν δύο συμπαγείς επιφάνειες Riemann με σταθερή καμπυλότητα τομής και f : M ! N ένας ισεμβαδικός διαφορομορφισμός. Τότε, υπάρχει μια οικογένεια λείων ισεμβαδικών απεικονίσεων ft : M ! N, t 2 [0;1), f0 = f, τέτοια ώστε τα γραφήματα (ft) της f να εξελίσονται μέσω της ροής μέσης καμπυλότητας στο πολύπτυγμα γινόμενο M N. Επιπλέον, ανάλογα με το πρόσημο του αριθμού έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: (a) Αν > 0, τότε η οικογένεια γραφημάτων (ft) συγκλίνει ομαλά στο γράφημα (f1) μιας ισομετρίας f1 : M ! N. (b) Αν = 0, τότε η οικογένεια γρφημάτων (ft) συγκλίνει ομαλά στο γράφημα (f1) μιας αφινικής απεικόνισης f1 : M ! N. (c) Αν < 0, τότε η οικογένεια (ft) συγκλίνει ομαλά σε μία ελαχιστική επιφάνεια M1 στο πολύπτυγμα γινόμενο M N. Το παραπάνω αποτέλεσμα οφείλεται στους K. Smoczyk [41] και M.-T. Wang [46,49]. Η απόδειξη που παρουσίαζουμε σε αυτή τη διατριβή ακολουθεί ιδέες που αναπτύχθηκαν στο άρθρο [34]. Κάθε διαφορομορφισμός είναι ισοτοπικός με έναν ισεμβαδικό διαφορομορφισμό. Συνεπώς, το προηγούμενο θεώρημα δίνει μία εναλλακτική απόδειξη του θεωρήματος του Smale [39] που λέει ότι κάθε διαφορομορφισμός δύναται να παραμορωθεί με συνεχή τρόπο σε μια ισομετρία.el
heal.advisorNameΣάββας-Χαλιλάι, Ανδρέαςel
heal.committeeMemberNameΣάββας-Χαλιλάι, Ανδρέαςel
heal.committeeMemberNameΓιαννούλης, Ιωάννηςel
heal.committeeMemberNameΒλάχος, Θεόδωρος
heal.academicPublisherΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικώνel
heal.numberOfPages89 σ.-
Appears in Collections:Διατριβές Μεταπτυχιακής Έρευνας (Masters) - ΜΑΘ

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Μ.Ε. VOGIATZI ARTEMIS-AIKATERINH 2020.pdf483.31 kBAdobe PDFView/Open

This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons