Please use this identifier to cite or link to this item:
https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/30311Full metadata record
| DC Field | Value | Language |
|---|---|---|
| dc.contributor.author | Ταχυρίδης, Γρηγόριος | el |
| dc.date.accessioned | 2020-11-19T10:27:02Z | - |
| dc.date.available | 2020-11-19T10:27:02Z | - |
| dc.identifier.uri | https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/30311 | - |
| dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.26268/heal.uoi.10199 | - |
| dc.rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States | * |
| dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/us/ | * |
| dc.subject | Γραμμικά συστήματα | el |
| dc.subject | Linear systems | en |
| dc.subject | Toeplitz | en |
| dc.title | Προρρυθμισμένη μέθοδος συζυγών κλίσεων για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Toeplitz | el |
| heal.type | masterThesis | - |
| heal.type.en | Master thesis | en |
| heal.type.el | Μεταπτυχιακή εργασία | el |
| heal.classification | Γραμμικά συστήματα | - |
| heal.dateAvailable | 2020-11-19T10:28:02Z | - |
| heal.language | el | - |
| heal.access | free | - |
| heal.recordProvider | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών | el |
| heal.publicationDate | 2015 | - |
| heal.bibliographicCitation | Βιβλιογραφία: σ. 77-79 | el |
| heal.abstract | Στη διατριβή αυτή μελετάμε την αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων Toeplitz, με την προρρυθμισμένη μέθοδο συζυγών κλίσεων. ΄Ενας πίνακας Toeplitz έχει τα ίδια στοιχεία κατά μήκος των διαγωνίων του. Γραμμικά συστήματα με συντελεστές αγνώστων πίνακες Toeplitz, εμφανίζονται σε πολλές εφαρμογές, όπως επεξεργασία σήματος, επεξεργασία και ανάκτηση εικόνας, διακριτοποίηση διαφορικών εξισώσεων, χρονοσειρές, μαρκοβιανές αλυσίδες κ.α. Κάθε πίνακας Toeplitz παράγεται από μια γεννήτρια συνάρτηση f, η οποία είναι 2π-περιοδική. Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης, μεταφέρονται σε αντίστοιχες ιδιότητες του πίνακα Toeplitz. Σε πολλές εφαρμογές παρουσιάζονται πίνακες Toeplitz συμμε- τρικοί και θετικά ορισμένοι, στις περισσότερες των περιπτώσεων όμως, οι πίνακες αυτοί έχουν κακή κατάσταση. Η χρήση άμεσων μεθόδων δεν ενδείκνυται, λόγω της κακής κατάστασης, αλλά και για το λόγο ότι καταστρέφεται η καλή δομή (τα ίδια στοιχεία στη διαγώνιο) του πίνακα. Επίσης, οι κλασικές επαναληπτικές μέθοδοι δεν είναι τόσο αποτελεσματικές. Οι πιο ενδεδειγμένες μέθοδοι είναι η προρρυθμισμένη μέθοδος συζυγών κλίσεων και η μέθοδος πολυπλεγμάτων (mul- tigrid). Στο εισαγωγικό κεφάλαιο της εργασίας, δίνουμε τις βασικές προτάσεις και ιδι- ότητες των πινάκων Toeplitz, καθώς και ιδιότητες της προρρυθμισμένης μεθόδου συζυγών κλίσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε και αναλύουμε τις ιδι- ότητες μερικών γνωστών προρρυθμιστών που αντιμετωπίζουν συστήματα με καλή κατάσταση. Οι προρρυθμιστές αυτοί ανήκουν σε άλγεβρες, με την έννοια ότι δια- γωνιοποιούνται με τον ίδιο πίνακα. Συγκεκριμένα, μελετάμε τους κυκλοειδείς προρρυθμιστές που προτάθηκαν από τους G. Strang και T. Chan, τους προρρυθ- μιστές που ανήκουν σε τ άλγεβρα και προρρυθμιστές που διαγωνοποιούνται από τον πίνακα διακριτού μετασχηματισμού Hartley. Αποδεικνύουμε ότι αυτοί οι προρ- ρυθμιστές οδηγούν στην υπεργραμμική σύγκλιση της προρρυθμισμένης μεθόδου συζυγών κλίσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε τεχνικές προρρύθμισης που α- ντιμετωπίζουν αποτελεσματικά συστήματα με κακή κατάσταση. Μελετάμε κυρίως ταινιωτούς προρρυθμιστές, που άρουν την κακή κατάσταση του συστήματος και φράσσουν τον δείκτη κατάστασης του προρρυθμισμένου συστήματος. Αναφέρου- με έναν προρρυθμιστή, ο οποίος προκύπτει από το γινόμενο ενός πίνακα τ με έναν ταινιωτό πίνακα Toeplitz και οδηγεί στην υπεργραμμική σύγκλιση της μεθόδου. Αριθμητικά αποτελέσματα εμπεριέχονται στο τέταρτο κεφάλαιο της διατριβής. | el |
| heal.abstract | In this thesis we study the numerical solution of linear Toeplitz systems with the preconditioned conjugate gradient method. A Toeplitz matrix is a matrix with the same entries over its diagonals. Such kind of systems arise in a variety of fields of applied mathematics such as signal processing, image processing and image restoration, discretization of differential equations, time series, Markov chains etc. The diagonals of a Toeplitz matrix are given by a generating 2π-periodic function f. Basic properties of the generating function correspond to similar kind of properties of the Toeplitz matrix. Symmetric and positive definite Toeplitz matrices appear in a variety of applications but in most cases those matrices are ill-conditioned. Direct methods are not suitable for Toeplitz systems due to ill-conditioning and the fact that they destroy the good structure (same entries over the diagonals) of the matrix. Classical iterative methods are not so effective either. The most suitable methods are the preconditioned conjugate gradient method and the multigrid method. In the first chapter of this thesis, we present the main propositions and properties of Toeplitz matrices and some properties of the preconditioned con- jugate gradient method. In the second chapter, we analyze the properties of some well-known preconditioners that are suitable for well-conditioned sy- stems. Those preconditioners belong to trigonometric matrix algebras, in the sense that they can be diagonalized with the same matrix. More precisely, we study the circulant preconditioners proposed by G. Strang and T. Chan as well as τ preconditioners and preconditioners that can be diagonalized by the discrete Hartley transform matrix. We prove that those preconditioners provide superlinear convergence of the preconditioned conjugate gradient me- thod. In the third chapter we study preconditioning techniques that deal with ill-conditioned systems. Mainly we study band preconditioners that eliminate the ill-condition of the system and bound the spectral condition number of the preconditioned system. We also mention a preconditioner constructed by the product of a τ matrix and a band Toeplitz matrix that provides superlinear co- rvegence of the preconditioned conjugate gradient method. Numerical results are presented in the fourth chapter of this thesis. | en |
| heal.advisorName | Νούτσος, Δημήτριος | el |
| heal.committeeMemberName | Νούτσος, Δημήτριος | el |
| heal.committeeMemberName | Ακρίβης, Γεώργιος | el |
| heal.committeeMemberName | Ξένος, Μιχαήλ | el |
| heal.academicPublisher | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών | el |
| heal.academicPublisherID | uoi | - |
| heal.numberOfPages | 79 σ. | - |
| heal.fullTextAvailability | true | - |
| Appears in Collections: | Διατριβές Μεταπτυχιακής Έρευνας (Masters) - ΜΑΘ | |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| Μ.Ε. ΤΑΧΥΡΙΔΗΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ 2015.pdf | 661.65 kB | Adobe PDF | View/Open |
This item is licensed under a Creative Commons License
