Birational geometry of algebraic surfaces (Master thesis)

Ζήκας, Σωκράτης

Full metadata record
DC FieldValueLanguage
dc.contributor.authorΖήκας, Σωκράτηςel
dc.rightsAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States*
dc.subjectΑλγεβρική επιφάνειαel
dc.subjectBirational γεωμετρίαel
dc.subjectMinimal Model Program (MMP)en
dc.titleΑμφίρητη γεωμετρία αλγεβρικών επιφανειώνel
dc.titleBirational geometry of algebraic surfacesen
heal.type.enMaster thesisen
heal.type.elΜεταπτυχιακή εργασίαel
heal.classificationΓεωμετρία, Αλγεβρική-
heal.recordProviderΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικώνel
heal.bibliographicCitationΒιβλιογραφία: σ. 103-104el
heal.abstractΤο κεντρικό θέμα της συνθετικής αυτής διατριβής είναι η μελέτη της birational γεωμετρίας των αλγεβρικών επιφανειών, από τη σκοπιά του Minimal Model Program (MMP). Η κύρια αναφορά μας είναι από το βιβλίο του K. Matsuki [1]. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό με κεντρικό θέμα ιστορικά στοιχεία περί τη μελέτη των αλγεβρικών επιφανειών καθώς και την ανάπτυξη του MMP. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισαγάγουμε τα βασικά εργαλεία που επιτρέπουν τη μετάβαση μεταξύ της αλγεβρικής και της complex analytic κατηγορίας. Εισαγάγουμε επίσης κάποια θεμελιώδη αποτελέσματα σχετικά με τη συνομολογία των μιγαδικών πολυπτυγμάτων και των sheaves σε αυτά. Το τρίτο κεφάλαιο αφιερώνεται στην αναλυτική ανάπτυξη το βασικών θεωρημάτων γύρω από τη λειτουργία του MMP στη διάσταση 2. Αρχικά, αφού παρουσιάζουμε εν συντομία τη βασική θεωρία του Intersection Theory καθώς και την έννοια του Blow up, αποδεικνύουμε τα κύρια θεωρήματα όπως το Castelnuovo blow down και την ύπαρξη των Extremal Contractions. Τέλος, μεταφράζουμε τα παραπάνω αποτελέσματα σε σχέση με τον κώνο Kleiman-Mori των effective 1-cycles, δίνοντας μία πιο μοντέρνα χροιά στο θέμα. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάμε τις εξόδους του MMP στη διάσταση 2, συγκεκριμένα τους Mori fibre spaces και τα Minimal models. Στην πρώτη περίπτωση αποδει- κνύουμε ένα θεώρημα που χαρακτηρίζει πλήρως τη δομή αυτών. Το υπόλοιπο κεφάλαιο αφιερώνεται στην αναλυτική κατασκευή του Canonical model για τα minimal models με Kodaira διάσταση, κ(S) = 2 καθώς και σε μία σύντομη παρουσίαση των θεωρημάτων Hard Dichotmy και Abundance. Το πέμπτο κεφάλαιο περιέχει την Enriques κατάταξη των αλγεβρικών επιφανειών μέχρι birational ισοδυναμία καθώς και μία σκιαγράφηση της απόδειξης. Στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου μελετάμε τις βασικές ιδιότητες κάποιων παραδειγμάτων αντιπροσώπων από την κάθε κλάση της παραπάνω κατάταξης. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το Sarkisov program στη διάσταση 2 το οποίο και χρησιμοποιούμε για την μελέτη των birational σχέσεων μεταξύ των Mori fibre spaces.el
heal.abstractThe topic of this expository M.Sc. thesis is the study of the birational geometry of algebraic surfaces in view of the Minimal Model Program (MMP). The main reference used is [1]. The first chapter is introductory, mainly presenting historical aspects related to the study of surfaces and to the development of the MMP. In the second chapter we briefly discuss the main tools which enable the interplay between the algebraic and the complex analytic categories. We also introduce some fundamental results centered around complex manifolds and sheaf cohomology. The third chapter is dedicated to the detailed view of the main theorems and ideas behind the MMP in dimension 2. We briefly touch on some foundational material, such as Intersection Theory and Blowups, and subsequently we present the main tools such as the Castelnuovo blow down theorem and the existence of Extremal contractions. Finally we translate the aforementioned results in terms of the Kleiman-Mori cone of effective 1-cycles, giving a more modern approach to the subject. In chapter four we study the end results of the MMP in dimension 2, namely the Mori fibre spaces and the Minimal models. In the first case, we present a theorem detailing their structure. The rest of the chapter is devoted to the detailed construction of the canonical model for a minimal model with Kodaira dimension, κ(S) = 2 as well as a brief discussion of the Hard Dichotomy and Abundance theorems. The fifth chapter contains the Enriques classification of algebraic surfaces up to birational equivalence as well as a sketch of the proof. In the last part of the chapter we introduce some examples for each birational class in the above classification and study some of their basic properties. In the sixth and final chapter we formulate and prove the Sarkisov program in dimension 2 and apply it to the study of birational relations between Mori fibre spaces.en
heal.advisorNameΠαπαδάκης, Σταύροςel
heal.committeeMemberNameΠαπαδάκης, Σταύροςel
heal.committeeMemberNameΒλάχος, Θεόδωροςel
heal.committeeMemberNameΘωμά, Απόστολοςel
heal.academicPublisherΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικώνel
heal.numberOfPages104 σ.-
Appears in Collections:Διατριβές Μεταπτυχιακής Έρευνας (Masters)

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Μ.Ε. ΖΗΚΑΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ 2018.pdf1.21 MBAdobe PDFView/Open

 Please use this identifier to cite or link to this item:
  This item is a favorite for 0 people.

Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.