Please use this identifier to cite or link to this item:
https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/29016Full metadata record
| DC Field | Value | Language |
|---|---|---|
| dc.contributor.author | Κοντογιάννη, Αμαλία | el |
| dc.date.accessioned | 2018-04-03T09:33:34Z | - |
| dc.date.available | 2018-04-03T09:33:34Z | - |
| dc.identifier.uri | https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/29016 | - |
| dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.26268/heal.uoi.2605 | - |
| dc.rights | Default License | - |
| dc.subject | Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα | el |
| dc.subject | Linear and no linear systems | en |
| dc.title | Επαναληπτικές μέθοδοι γραμμικών και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων ελλειπτικού τύπου | el |
| heal.type | masterThesis | - |
| heal.type.en | Master thesis | en |
| heal.type.el | Μεταπτυχιακή εργασία | el |
| heal.classification | Γραμμικά συστήματα | el |
| heal.classification | Μη γραμμικά συστήματα | el |
| heal.dateAvailable | 2018-04-03T09:34:34Z | - |
| heal.language | el | - |
| heal.access | free | - |
| heal.recordProvider | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών | el |
| heal.publicationDate | 2018 | - |
| heal.bibliographicCitation | Βιβλιογραφία: σ. 61-63 | el |
| heal.abstract | Σ’ ένα μεγάλο αριθμό φυσικών και μαθηματικών προβλημάτων χρειάζεται μοντελοποίηση με Μερικές Διαφορικές εξισώσεις. Τα περισσότερα φυσικά προβλήματα περιγράφονται με ακρίβεια από Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις των οποίων η ανώτερη τάξης παράγωγος είναι η δεύτερη. Αν και κάποιες από τις εξισώσεις αυτές μπορούν κάτω από ορισμένες συνθήκες να λυθούν αναλυτικά, κατά κανόνα οι περισσότερες απο αυτές δεν λύνονται αναλυτικά παρά μόνο με την βοήθεια αριθμητικών μεθόδων. Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης αναπτύχθηκαν ραγδαία τις τελευταίες δεκαετίες, λόγω της εξέλιξης της επιστήμης της πληροφορικής και της κατασκευής ταχύτατων Η/Υ. Ο λόγος είναι προφανής αν λάβει κανείς υπόψη του ότι οι αριθμητικές μέθοδοι απαιτούν ένα τεράστιο αριθμό μαθηματικών πράξεων που μόνο με τη βοήθεια του Η/Υ μπορούν να εκτελεστούν. Το πρόβλημα που εξετάζουμε στην παρούσα εργασία αφορά την επίλυση ελλειπτικών μερκών διαφορικών εξισώσεων (Laplace και Poisson) και συγκεκριμένα το πρόβλημα Dirichlet σε δυο διαστάσεις. Η επίλυση του αλγεβρικού συστήματος Ax = b, A ∈ Rn,n, b ∈ Rn, στο οποίο καταλήγουμε εάν προσπαθήσουμε να λύσουμε αριθμητικά ένα φυσικό πρόβλημα και συγκεκριμένα με τις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων όγκων είναι το βασικό ζητούμενο σε αυτή την εργασία. Στη συνέχεια γίνεται αναπαράσταση των αριθμητικών λύσεων του προβλήματος με γραφήματα και η σύγκριση τους με τις αναλυτικές λύσεις όπου αυτές είναι γνωστές. Συγκεκριμένα γίνεται μια γενική αναφορά και κατηγοριοποίηση των Μερικών Διαφορικών εξισώσεων. Οι ελλειπτικές εξισώσεις τις οποίες μελετήσαμε είναι οι Laplace και Poisson. Παρουσιάζονται οι αναλυτικές λύσεις τόσο της Laplace όσο και της Poisson με σκοπό την σύγκρισή τους με τις αντίστοιχες αριθμητικές λύσεις. Στη συνέχεια περιγράφονται οι αριθμητικές μέθοδοι διακριτοποίησης των πεπερασμένων διαφορών και των πεπερασμένων όγκων, η εφαρμογή των οποίων οδηγεί στο αλγεβρικό σύστημα, που προαναφέραμε. Αναπαράγονται οι τύποι πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων όγκων και αναπτύσσονται μέθοδοι επίλυσης για ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης. Στο επόμενο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση των διάφορων επαναληπτικών μεθόδων όπως η μέθοδος απότομης καθόδου, η μέθοδος συζυγών κλίσεων και η γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων υπολοίπων τις οποίες εφαρμόσαμε για την επίλυση του αλγεβρικού συστήματος. ΄Εμφαση δίνεται στην εφαρμογή των μεθόδων με μια σύντομη μαθηματική περιγραφή αυτών. Περιγράφεται επίσης μια μέθοδος που συνδυάζει τις επαναληπτικές μεθόδους με την μέθοδο του Νεύτωνα για την επίλυση μη γραμμικών συστημάτων. Επιλύεται το σύστημα που προκύπτει, γραμμικό ή μη γραμμικό, επιλέγοντας μια ή περισσότερες απο τις διαθέσιμες μεθόδους και γίνεται η μεταξύ τους σύγκριση. Στο τέλος της εργασίας παρατίθεται κώδικας σε Matlab από την εφαρμογή του οποίου προέκυψαν τα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στην διπλωματική εργασία. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγουμε είναι ότι και οι τρεις επαναληπτικές μέθοδοι δίνουν αξιόπιστα αποτελέσματα. Από τις τρεις αυτές μεθόδους, η μέθοδος συζυγών κλίσεων και η γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων υπολοίπων είναι ισοδύναμες για την επίλυση συστημάτων στα οποία ο πίνακας των συντελεστών A είναι συμμετρικός. Υπερτερούν σε σχέση με την μέθοδο της απότομης καθόδου όσον αφορά τον αριθμό των επαναλήψεων και την ταχύτητα σύγκλισης. ΄Οσον αφορά το σφάλμα οι μέθοδοι δίνουν αποτελέσματα πολύ κοντά στην αναλυτική λύση όπου αυτή είναι διαθέσιμη. Συνοψίζοντας, ασχοληθήκαμε με: • προβλήματα που καταλήγουν σε μεγάλης κλίμακας συστήματα, • εφαρμογή των επαναληπτικών μεθόδων σε γραμμικά αλλά και σε μη γραμμικά συστήματα (μέθοδος του Νεύτωνα), • σύγκριση αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων τα οποία έχουν καλή συμφωνία τόσο για την Laplace όσο και για την Poisson και • υλοποίηση στο προγραμματιστικό περιβάλλον Matlab με κώδικα ο οποίος παρατίθεται στο παράρτημα. | el |
| heal.abstract | A large number of physical and mathematical problems can be modeled with Partial Differential Equations (PDEs). Most physical problems are accurately described by 2nd order PDEs. Although some of these equations may under certain circumstances can be solved analytically, most of them they do not have analytical solution and can only be solved numerically with the help of numerical methods. Numerical methods have been developed rapidly over the last decades due to the evolution of numerical analysis, computer science and the construction of high-speed computers. The reason is obvious if one takes into account that numerical methods require a huge number of mathematical operations that can only be performed with the help of a computer. The problem under consideration deals with the solution of elliptical partial differential equations (Laplace and Poisson PDEs) and in particular the Dirichlet boundary value problem in two spatial dimensions. To solve numerically the physical problem described in this thesis, we end up to the solution of an algebraic system of the form Ax = b, A ∈ Rn,n, b ∈ R. To derive this system we utilized two discretization methods, namely the finite difference and the finite volume methods. The obtained numerical solutions were plotted in contour graphs and the results were compared with the analytical solutions where available. Initially, a general reference and categorization of the 2nd order PDEs is taking place. The elliptical Laplace and Poisson equations were studied. We present the analytical solutions of both Laplace and Poisson PDEs for comparison with the corresponding numerical solutions. We then describe the numerical discretization methods, the finite differences and the finite volumes methods, the application of which leads to the algebraic system mentioned above. We further present the iterative numerical methods for the solution of the 2nd order elliptic partial differential equations. In the next chapter, we present three iterative methods for the solution of linear algebraic systems, such as the steepest descend method, the conjugate gradient method and the generalized method of minimal residuals. A brief mathematical description of these method follows. Emphasis is placed on the application of the three iterative methods. We also introduce a numerical method that combines the above mentioned iterative methods with Newton’s method for solving non-linear algebraic systems. The resulting system, linear or non-linear, is numerically solved by selecting one or more of the available methods and comparing them. At the end of the thesis, the developed numerical code, written in Matlab, is presented in an appendix. We deduce that all three iterative methods give trusted results. Of these three methods, the conjugate gradient method and the generalized minimal residual method are equivalent for symmetric matrices. These methods are predominantly better compared to the steepest descent method in terms of the iterations and the convergence speed. Concerning the error, methods yield results very close to the analytical solution where it is available. In summary, we dealt with: • problems that result in large-scale systems, • implementation of iterative methods in both linear and non-linear systems (Newton’s method), • comparing analytical and numerical results that have good agreement for both Laplace and Poisson PDEs and • implementation in the programming environment Matlab with a numerical code listed in the appendix of this thesis. | en |
| heal.advisorName | Νούτσος, Δημήτριος | |
| heal.committeeMemberName | Νούτσος, Δημήτριος | el |
| heal.committeeMemberName | Χωρίκης, Θεόδωρος | el |
| heal.committeeMemberName | Ξένος, Μιχαήλ | el |
| heal.academicPublisher | Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών | el |
| heal.academicPublisherID | uoi | - |
| heal.numberOfPages | 84 σ. | - |
| heal.fullTextAvailability | true | - |
| Appears in Collections: | Διατριβές Μεταπτυχιακής Έρευνας (Masters) - ΜΑΘ | |
Files in This Item:
| File | Description | Size | Format | |
|---|---|---|---|---|
| Μ.Ε. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗ ΑΜΑΛΙΑ 2018.pdf | 3.37 MB | Adobe PDF | View/Open |
This item is licensed under a Creative Commons License
